Eisagwg sta Stoqastikˆ Qrhmatooikonomikˆ. A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Eisagwg sta Stoqastikˆ Qrhmatooikonomikˆ A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 NoembrÐou 211

2

Perieqìmena 1 Εισαγωγή στα στοχαστικά χρηματοοικονομικά 7 1.1 Εισαγωγή................................................. 7 1.2 Χρηματαγορές, περιουσιακά στοιχεία και ο ρόλος τους......................... 8 1.2.1 Περιουσιακά στοιχεία Τίτλοι.................................. 8 1.2.2 Ο ρόλος των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων.................. 9 1.2.3 Χρηματοοικονομικές αγορές................................... 9 1.2.4 Χαρτοφυλάκια τίτλων....................................... 1 1.3 Η μεθοδολογία των Χρηματοοικονομικών................................ 1 1.4 Η έννοια της αξίας............................................ 1 1.5 Η έννοια του χρόνου και η σχέση της με την αξία των περιουσιακών στοιχείων............ 11 1.6 Εισαγωγή στις έννοιες της παρούσης και της μελλοντικής αξίας.................... 12 1.7 Αβεβαιότητα και αξία........................................... 14 1.8 Εισαγωγή στην έννοια του κινδύνου και την τυπολογία του...................... 16 1.9 Arbitrage................................................. 17 1.1 Ατέλειες των αγορών........................................... 18 1.11 Αποτελεσματικότητα (efficiency).................................... 18 1.12 Σύνοψη και σχόλια............................................ 19 2 Στοχαστικά μοντέλα για τις μετοχές 21 2.1 Εισαγωγή................................................. 21 2.2 Τα βασικά για τις μετοχές........................................ 21 2.3 Το διωνυμικό μοντέλο για τις τιμές των μετοχών............................ 22 2.4 Ιδιότητες του διωνυμικού μοντέλου................................... 22 2.4.1 Δομές πληροφορίας στο διωνυμικό μοντέλο........................... 22 2.4.2 Ιδιότητα Markov......................................... 23 2.4.3 Εξέλιξη των αναμενόμενων τιμών της μετοχής........................ 24 2.4.4 Διαδικασίες martingale και η εξέλιξη της τιμής των μετοχών................. 24 2.4.5 Το ισοδύναμο μέτρο martingale................................. 25 2.4.6 Arbitrage και ισοδύναμο μέτρο martingale.......................... 26 2.4.7 Το όριο του διωνυμικού μοντέλου για μεγάλο αριθμό περιόδων................ 26 2.4.8 Βαθμονόμηση του διωνυμικού μοντέλου............................. 27 2.4.9 Το όριο του διωνυμικού μοντέλου για μεγάλο αριθμό περιόδων ΙΙ............... 28 2.5 Παράρτημα................................................. 29 2.5.1 Η υπο συνθήκη μέση τιμή ως τυχαία μεταβλητή......................... 29 2.5.2 Το κεντρικό οριακό θεώρημα................................... 31 3 Μοντέλα για τις τιμές των μετοχών σε συνεχή χρόνο 33 3.1 Εισαγωγή................................................. 33 3.2 Σύντομη μαθηματική εισαγωγή...................................... 33 3.2.1 Ο θεμέλιος λίθος των μοντέλων σε συνεχή χρόνο: Η κίνηση Brown............. 33 3.2.2 Μια μικρή παρακαμψη στήν στοχαστική ανάλυση: Το ολοκλήρωμα Itô............ 34 3.2.3 Ιδιότητες του ολοκλήρώματος.................................. 36 3.2.4 Διαδικασίες Itô.......................................... 36 3.2.5 Ο τύπος του Itô......................................... 37 3.3 Ενα μοντέλο για τις τιμές των μετοχών: Η γεωμετρική κίνηση Brown............... 37 3

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 3.4 Γενικεύσεις................................................ 4 3.4.1 Γεωμετρική κίνηση Brown με χρονοεξαρτώμενους συντελεστές................ 4 3.4.2 Μοντέλα στοχαστικής μεταβλητότητας............................. 4 4 Τιμολόγηση παραγώγων συμβολαίων I 41 4.1 Παράγωγα συμβόλαια........................................... 41 4.2 Εισαγωγικά για την τιμολόγηση παραγώγων συμβολαίων........................ 42 4.2.1 Τιμολόγηση με αναπαραγωγή του τίτλου............................ 42 4.2.2 Τιμολόγηση και απουσία arbitrage............................... 43 4.2.3 Η τιμολόγηση του παραγώγου απο την σκοπιά του πωλητή και του αγοραστή....... 44 4.3 Τιμολόγηση στο διωνυμικό μοντέλο................................... 46 4.3.1 Ενας επαναληπτικός αλγόριθμος για την τιμή του παραγώγου................. 46 4.3.2 Αντιστάθμιση και τα ελληνικά γράμματα (greeks)....................... 49 4.3.3 Τιμολόγηση παραγώγων με την μέθοδο Monte Carlo................... 51 5 Τιμολόγηση παραγώγων προιόντων II 55 5.1 Το μοντέλο Black Scholes...................................... 55 5.2 Τα ελληνικά γράμματα (greeks)..................................... 57 5.2.1 Το............................................... 59 5.2.2 Το Γ................................................ 61 5.3 Χαρτοφυλάκια παραγώγων συμβολαίων................................. 61 5.4 Στρατηγικές με παράγωγα προιόντα................................... 65 5.4.1 P rotective put.......................................... 65 5.4.2 Covered call........................................... 65 5.4.3 Straddle............................................. 65 5.4.4 Strips και Straps........................................ 65 5.4.5 Spreads............................................. 67 6 Ομόλογα 69 6.1 Τα βασικά των ομολόγων......................................... 69 6.2 Αγορές ομολόγων και είδη ομολόγων.................................. 69 6.3 Αποτίμηση ομολόγων........................................... 7 6.4 Αποδόσεις των ομολόγων......................................... 72 6.5 Προθεσμιακά συμβόλαια και προθεσμιακές αποδόσεις.......................... 75 6.6 Θεωρίες σχετικά με τις αποδόσεις των ομολόγων............................ 76 6.7 Κίνδυνοι που σχετίζονται με τα ομόλογα και ποσοτικοποίηση τους.................. 76 6.7.1 Διάρκεια.............................................. 77 6.7.2 Κυρτότητα............................................. 79 6.7.3 Χρήση των μέτρων αυτών για τον υπολογισμό του κινδύνου θέσεων απο ομόλογα..... 82 6.8 Μοντέλα για τις αποδόσεις των ομολόγων................................ 82 6.9 Το διωνυμικό μοντέλο για τις αποδόσεις των ομολόγων........................ 83 7 Εισαγωγή στην θεωρία χαρτοφυλακίου 85 7.1 Εισαγωγή................................................. 85 7.2 Κάποιοι ποσοτικοί δείκτες για τα χαρτοφυλάκια............................. 85 7.3 Ενα πρώτο μέτρο κινδύνου........................................ 87 7.4 Η έννοια της διαφοροποίησης....................................... 9 7.5 Το πρόβλημα του Markowitz...................................... 93 7.5.1 Μαθηματική περιγραφή και επίλυση............................... 93 7.5.2 Μέτρηση και καθορισμός των παραμέτρων του μοντέλου.................... 97 7.5.3 Γενικεύσεις του μοντέλου.................................... 97 7.6 Η εισαγωγή ενός βέβαιου τίτλου..................................... 97 7.7 Το μοντέλο της αγοράς και το μοντέλο CAP M............................ 1 7.7.1 Η θεωρία χαρτοφυλακίου με την χρήση του CAP M...................... 12 7.7.2 Αιτιολόγηση του μοντέλου CAPM................................ 13 7.7.3 Εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου CAP M....................... 13 7.8 Δείκτες της απόδοσης χαρτοφυλακίων.................................. 15

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 5 7.9 Μοντέλα της αγοράς πολλών παραγόντων............................... 15 8 Βασικές έννοιες διαχείρισης κινδύνου 17 8.1 Μέτρα κινδύνου: Αξία στον κίνδυνο (V alue at Risk V ar)..................... 17 8.2 Αξία στον κίνδυνο θέσεων από μία μετοχή............................... 19 8.3 Επίδραση της μεταβολής των επιτοκίων στην αξία χαρτοφυλακίων ομολόγων............. 111 8.4 Αξία στον κίνδυνο χαρτοφυλακίων με παράγωγα............................ 112 8.5 Εκτίμηση της αξίας στον κίνδυνο χρησιμοποιώντας το Γ........................ 113 8.6 Σχόλια και κριτική σχετικά με το V ar................................. 114 8.7 Γενικευμένα μέτρα κινδύνου - Coherent Risk Measures........................ 114

6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Kefˆlaio 1 Eisagwg sta stoqastikˆ qrhmatooikonomikˆ 1.1 Eisagwg Μία οικονομία μπορεί να αποτελείται από μία σειρά αγορών οι οποίες είναι αλληλοσυνδεόμενες. Από όλες τις πιθανές αγορές που μπορεί να εμφανίζονται σε ένα οικονομικό σύστημα οι χρηματαγορές εμφανίζουν ίσως το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Αυτό γιατί συνδέονται με οποιαδήποτε άλλη αγορά αλλά και με το κάθε άτομο. Οι χρηματαγορές αποτελούν το μέσο που χρησιμοποιούν οι επιχειρήσεις για να μαζέψουν τα απαραίτητα κεφάλαια για να εξασφαλίσουν την λειτουργία τους, το μέσο που χρησιμοποιούν οι μεμονωμένοι επενδυτές για να αυξήσουν την ευημερία τους και το μέσο που χρησιμοποιούμε για να αποθηκεύσουμε τον πλεονάζοντα πλούτο. Τα Χρηματοοικονομικά είναι το κομμάτι της Οικονομικής Επιστήμης που ασχολείται με την λειτουργία των χρηματοοικονομικών αγορών. Τα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά είναι το κομμάτι των Μαθηματικών που ασχολείται με την παραγωγή μαθηματικών μοντέλων (υποδειγμάτων, προτύπων) σχετικά με την λειτουργία των χρηματοοικονομικών αγορών, την αποτίμηση των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων, την επιλογή επενδύσεων κλπ. Τα μοντέλλα αυτά όπως άλλωστε και σε οποιαδήποτε άλλη επιστήμη (π.χ. Φυσική ή Βιολογία όπου τα μαθηματικά παίζουν πρωτεύοντα ρόλο στην μεθοδολογία τους) αποσκοπούν στο να αποκτήσουμε καλύτερη κατανόηση των διαδικασιών που παίζουν σημαντικό ρόλο σε ορισμένα φαινόμενα και εν τέλει στην δυνατότητα πρόβλεψης. Είναι ενδιαφέρον να δούμε ποιά κομμάτια των Μαθηματικών είναι χρήσιμα στην μελέτη και την μοντελλοποίηση των χρηματαγορών. Μία απλή ματιά στις οικονομικές σελίδες των εφημερίδων θα μας πείσει για το ότι οι μεταβολές των τιμών των διαφόρων χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων είναι ακανόνιστες και φαίνονται (ή είναι τυχαίες). Αυτή η τυχαιότητα μας οδηγεί στο να καταλάβουμε ότι τα βασικά μαθηματικά εργαλεία των Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών θα είναι τεχνικές της θεωρίας πιθανοτήτων και των στοχαστικών διαδικασιών. Ετσι η έννοια της πιθανότητας, της μέσης τιμής και της διακύμανσης θα είναι σε καθημερινή χρήση στα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. Φυσικά αυτό δεν είναι αρκετό οπότε θα χρησιμοποιήσουμε συχνά και πιο προχωρημένες έννοιες όπως π.χ. τις διαδικασίες Markov, τις διαδικασίες martingale, την κίνηση Brown, το στοχαστικό ολοκληρώμα και τις διαδικασίες Itô, τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις κ.α. Οι αφηρημένες αυτές μαθηματικές έννοιες αποκτούν συγκεκριμένες ερμηνείες στα χρηματοοικονομικά π.χ όπως θα δούμε παρακάτω η έννοια των martingales σχετίζεται με την αποτελεσματικότητα των αγορών κ.α. Θα θέλαμε να σημειώσουμε εδώ την αμφίδρομη σχέση των Μαθηματικών και των Χρηματοοικονομικών. Οι αυστηρές μαθηματικές τεχνικές της θεωρίας πιθανοτήτων και των στοχαστικών διαδικασιών μπορεί να παρέχουν ιδιαίτερα ικανοποιητικούς τρόπους για την ποιοτική και ποσοτική αντιμετώπιση σημαντικών πρακτικών προβλημάτων όπως π.χ. την βέλτιστη επιλογή χαρτοφυλακίου ή την αποτίμηση παραγώγων συμβολαίων. Από την άλλη όμως η εμφάνιση καινούργιων πρακτικών προβλημάτων από τον οικονομικό κόσμο δημιουργεί την ανάγκη καινούριων μαθηματικών τεχνικών για την αντιμετώπιση τους οπότε και οδηγεί στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης. Υπάρχουν αρκετά παραδείγματα όπου καινούργια μαθηματικά δημιουργήθηκαν για να αντιμετωπιστούν συγκεκριμένα προβλήματα των Χρηματοοικονομικών ή γενικότερα των Οικονομικών. Ενα τέτοιο παράδειγμα ειναι η ανάπτυξη της θεωρίας των viscosity solutions στην θεωρία ελέγχου, ή η ανάπτυξη της θεωρίας των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων οι οποίες εξελίσσονται οπισθοδρομικά στον χρόνο (backward stochastic differential equations). Εμείς βέβαια στο μάθημα αυτό δεν έχουμε σαν σκοπό να παράγουμε καινούργια μαθηματικά. Αυτό γίνεται από μία αρκετά μικρή μερίδα μαθηματικών οι οποίοι είναι προσανατολισμένοι στην έρευνα και έχουν την τεχνική κατάρτιση να το κάνουν αυτό. Ομως οι τεχνικές που αυτοί δημιουργούν μέσα σε λίγο καιρό υίοθετούνται από την 7

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α αγορά και περνάνε στο καθημερινό οπλοστάσιο που χρησιμοποιούν για την πραγματοποίηση των συναλλαγών τους οι διάφορες τράπεζες, οικονομικοί οργανισμοί, ασφαλιστικές εταιρείες κ.α. Σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε το διάσημο μοντέλο των Black και Scholes για την αποτίμηση των παραγώγων συμβολαίων το οποίο μέσα σε λιγότερο απο 1 χρόνια από διατύπωση του έγινε μέρος της καθημερινής ρουτίνας του κάθε υπαλλήλου μίας χρηματιστηριακής εταιρείας. Είναι λοιπόν απαραίτητο από τον καθένα ο οποίος ζητάει μία θέση στην αγορά εργασίας στον τομέα αυτό, η έστω και βασική κατανόηση των τεχνικών αυτών. Αυτός είναι και ο σκοπός του μαθήματος αυτού, δηλαδή να προσφέρει τις βασικές αρχές των χρηματοοικονομικών μαθηματικών και να παρουσιάσει ορισμένα από τα μοντέλα που έχουν γίνει πλέον κλασικά τόσο ώστε να είναι αδύνατο να ενσωματωθεί κανείς στην αγορά εργασίας στον τομέα αυτό αν δεν γνωρίζει έστω και τα βασικά σημεία της λειτουργίας τους. Παράλληλα όμως φιλοδοξεί να το κάνει αυτό με τέτοιο τρόπο ώστε να προσφέρει τις απαραίτητες βάσεις σε όποιον από εσάς επιθυμεί να προχωρήσει λίγο παραπέρα από τα κεκτημένα και να παράγει μαθηματικά μοντέλα ή να επιλύσει προβλήματα πέραν των γνωστών που πιθανόν να εμφανιστούν στην πορεία της επαγγελματικής του σταδιοδρομίας. 1.2 Qrhmatagorèc, periousiakˆ stoiqeða kai o rìloc touc 1.2.1 Periousiakˆ stoiqeða TÐtloi Ορισμός 1.2.1 Ενα χρηματοοικονομικό περιουσιακό στοιχείο ή τίτλος (financial asset) είναι μία αξίωση σε κάποιο μελοντικό εισόδημα (απολαβή). Οι απολαβές δεν είναι γνωστές από πριν. Το συμβόλαιο αυτό πωλείται ή αγοράζεται σήμερα, (δηλαδή πριν γίνει γνωστό το ποιές θα είναι οι απολαβές απο αυτό) και χρησιμοποιείται για την μεταφορά πλούτου σε μελλοντικες χρονικές στιγμές και σε διαφορετικές καταστάσεις του κόσμου. Η χρήση ενός τίτλου είναι λοιπόν η εξής: Την χρονική στιγμή t = αγοράζουμε (επενδύουμε) σε συμβόλαια τα οποία πουλιούνται στην αγορά αλλά θα μας αποφέρουν κάποιο χρηματικό ποσό ή κάποιο φυσικό αγαθό την χρονική στιγμή t = 1. Με τον τρόπο αυτό μεταφέρουμε αξία (πλούτο) από την χρονική στιγμή t = στην χρονικη στιγμή t = 1 για να ικανοποιήσουμε τις ανάγκες μας την χρονική στιγμή αυτή. Αναφέρουμε ορισμένα παραδείγματα τίτλων. Παράδειγμα 1.2.1 (Ομόλογα) Τα ομόλογα είναι τίτλοι που σχετίζονται τον δανεισμό και το χρέος. Με τον όρο χρέος εννοούμε μία αξίωση σε ένα προκαθορισμένο μέρος της ροής των εισοδημάτων που σχετίζονται με κάποιο περιουσιακό στοιχείο. Οι αξιώσεις που σχετίζονται με την έννοια του χρέους ονομάζονται ομόλογα (bonds) ή χρεώγραφα σταθερού εισοδήματος (fixed income securities). Οι πληρωμές στις οποίες έχει δικαίωμα ο κάτοχος ενός τέτοιου συμβολαίου μπορεί να γίνονται με οποιαδήποτε μορφή αρκεί να τηρείται ο τρόπος αυτός κατά την διάρκεια του συμβολαίου. Ενα συμβόλαιο τέτοιου τύπου συνεχίζει να περιέχει κίνδυνο, εφόσον πάντοτε ενυπάρχει ο κίνδυνος να μην είναι δυνατόν να τηρηθούν οι όροι του συμβολαίου. Σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε ένα ομόλογο επάνω σε ένα δείκτη (indexed bond) δηλαδή ένα ομόλογο για το οποίο η σειρά των πληρωμών που αποφέρει σχετίζονται με το συνολικό ύψος ορισμένων τιμών. Κατά συνέπεια το ομόλογο αυτό θα είναι συνδεδεμένο με κάποιο περιουσιακό στοιχείο και και αν το εισόδημα από το στοιχείο αυτό δεν φτάσει στα αναμενόμενα όρια τότε το ομόλογο δεν θα μπορέσει να δώσει το αναμενόμενο ύψος πληρωμών. Παράδειγμα 1.2.2 ( Μετοχές ) Οι μετοχές (equities) είναι αξιώσεις στην σειρά πληρωμών από την παραγωγή μιας εταιρείας αφού αφαιρεθούν πρώτα όλες οι υπόλοιπες αξιώσεις επάνω σε αυτό (π.χ. πληρωμές για έξοδα της εταιρείας, φόροι κλπ). Ο μετοχές είναι ένα περιουσιακό τέτοιο ώστε αυτός που το φέρει έχει περιορισμένη ευθύνη. Ο φέρων μία μετοχή στην χειρότερη περίπτωση μπορεί αν χάσει την τιμή που πλήρωσε για να αποκτήσει την μετοχή, και δεν φέρει την οποιαδήποτε ευθύνη για τις πράξεις της εταιρείας. Οι μετοχές είναι ένα περιουσιακό στοιχείο που είναι μεταβιβάσιμο σε μεγάλο βαθμό. Μια εταιρεία με την σειρά της εκδίδει μετοχές για να συγκεντρώσει τα απαραίτητα κεφάλαια απο το επενδυτικό κοινό έτσι ώστε να μπορέσει να πραγματοποιήσει τις επενδύσεις της. Επίσης, με τον τρόπο αυτό διασπείρει τον κίνδυνο ζημιάς απο πιθανή αποτυχία της επένδυσης σε όλους τους επενδυτές που θα αγοράζουν την μετοχή της. Παράδειγμα 1.2.3 ( Παράγωγα προιόντα ) Τα παράγωγα προϊόντα (derivative assets) είναι ένα πολύ ενδιαφέρον είδος περιουσιακών στοιχείων. Τα παράγωγα προιόντα είναι συμβόλαια η αξία των οποίων εξαρτάται απο την αξία ενός ή περισσοτέρων άλλων τίτλων ή εμπορευμάτων. Παραδείγματα παραγώγων προιόντων είναι τα δικαιώματα αγοράς και πώλησης μετοχών ή μονάδων του δείκτη (call and put options), τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης (futures), είτε επάνω σε μετοχές είτε επάνω σε εμπορεύματα, τα συμβόλαια ανταλλαγής (swaps) κ.α. Τα παράγωγα προϊόντα είναι συμβόλαια τα οποία χρησιμοποιούνται ευρύτατα για κερδοσκοπία σε συνδυασμό με θέσεις σε μετοχές ή για διαχείριση του κινδύνου θέσεων απο μετοχές.

1.2. ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡ ΕΣ, ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚ Α ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΚΑΙ Ο Ρ ΟΛΟΣ ΤΟΥΣ 9 Παράδειγμα 1.2.4 (Χρήμα) Το χρήμα είναι το περιουσιακό στοιχείο που αποτελεί το μέσο συναλλαγής. Βέβαια στα περιουσιακά στοιχεία μπορεί να καταταγούν και ένα πλήθος άλλων συμβολαίων, όπως δείχνουν τα ακόλουθα παραδείγματα. Παράδειγμα 1.2.5 (Συνταξιοδοτικά σχήματα) Αν την χρονική στιγμή t = κατά την οποία είμαστε νέοι έχουμε πλεόνασμα πλούτου το οποίο θέλουμε να μεταφέουμε στην χρονική στιγμή t = 1 (κατά την οποία θα είμαστε πλέον στην σύνταξη) για να ικανοποιήσουμε τις ανάγκες μας κατά την περίοδο αυτή. Ο τρόπος να το κάνουμε αυτό είναι μέσω ενός κατάλληλου συμβολαίου, ενός συνταξιοδοτικού σχήματος. Παράδειγμα 1.2.6 (Συμβόλαια σχετικά με το συνάλλαγμα) Ας υποθέσουμε ότι μία ελληνική επιχείρηση έχει συναλλαγές με την Ιαπωνία και γνωρίζει ότι σε ένα έτος απο σήμερα θα πρέπει να αγοράσει κάποια μηχανήματα απο την Ιαπωνία και για να το κάνει αυτό θα χρειαστεί ορισμένη ποσοτητα γιέν. Η επιχείρηση αυτή μπορεί την σημερινή χρονική στιγμή t = να αγοράσει ένα συμβόλαιο απο μία τράπεζα το οποίο θα εξασφαλίζει ότι η τράπεζα θα της παρέχει την χρονική στιγμή t = 1, κατά την οποία πρέπει να γίνει η συναλλαγή με την Ιαπωνία, την απαραίτητη ποσότητα γιέν και μάλιστα σε προκαθορισμένη τιμή. Ενα τέτοιο συμβόλαιο είναι ένα προθεσμιακό συμβόλαιο συναλλάγματος. Οπως οι ανάγκες των διαφόρων επενδυτών (άτομα, επιχειρήσεις διαφόρων ειδών, κράτη) ποικίλουν ύπάρχει μία τεράστια ποικιλία απο συμβόλαια, μετοχές, προθεσμιακά συμβόλαια, ομόλογα, παράγωγα συμβόλαια κλπ. 1.2.2 O rìloc twn qrhmatooikonomik n periousiak n stoiqeðwn Είναι σημαντικό να ξεκαθαρίσουμε τον ρόλο των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Τα χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία έχουν δύο πολύ σημαντικούς ρόλους: Εξασφαλίζουν ένα τρόπο μέσω του οποίου περιουσιακά στοιχεία μπορεί να μεταφερθούν από αυτούς που έχουν πλεόνασμα προς αυτούς που τα χρειάζονται για πιθανές μελλοντικές επενδύσεις (που προφανώς θεωρούν ότι θα τους επιφέρουν κέρδος Αποτελούν ένα τρόπο μεταφοράς του κινδύνου εν γένει και πιο συγκεκριμένα από αυτούς που θα αναλάβουν την επένδυση σε αυτούς που θα την χρηματοδοτήσουν μέσω των επενδύσεων τους. 1.2.3 Qrhmatooikonomikèc agorèc Τα περιουσιακά στοιχεία μπορεί να αλλάζουν μορφή και κατόχους. Ορισμός 1.2.2 Η χρηματαγορά είναι ο τόπος στον οποίο γίνονται οι συναλλαγές σε χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία. Ο ρόλος των χρηματαγορών είναι επίσης διπλός. Προσφέρουν ρευστότητα εφόσον είναι ο χώρος στον οποίο τα χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία μπορεί να μεταπωληθούν ή να ρευστοποιηθούν. Αυτός είναι ιδιαίτερα σημαντικός ρόλος γιατί ένα περιουσιακό στοιχείο το οποίο δεν παρέχει ρευστότητα δεν είναι ιδιαίτερα ελκυστικό στους επενδυτές. Φανταστείτε να έχετε π.χ. να διαλέξετε μεταξύ ενός κλειστού τραπεζικού λογαριασμού ο οποίος σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε τα χρήματα σας κάποια δεδομένη χρονική στιγμή στο μέλλον και ένα επενδυτικό πακέτο την φύση του οποίου μποείτε να μεταβάλλετε οποτε θέλετε ή ακόμα και να πάρετε το αρχικό σας κεφάλαιο πίσω. Τι θα διαλέγατε; Μειώνουν το κόστος των συναλλαγών. Φανταστείτε π.χ. αν θέλατε να ανταλλάξετε ένα συγκεκριμένο χρηματοοικονομικό περιουσιακό στοιχείο με κάποιο άλλο. Αν δεν υπήρχε η χρηματαγορά τότε θα έπρεπε να ψάξετε να βρείτε μόνοι σας τον κάτοχο του περιουσιακού στοιχείου που σας ενδιαφέρει και να κανονίσετε την ανταλλαγή. Αντίθετα όταν η χρηματαγορά λειτουργεί σαν μεσάζοντας στην συναλλαγή αυτή, η συναλλαγή διευκολύνεται και συνεπώς και το κόστος της συναλλαγής μειώνεται. Οι αγορές αυτές με την σειρά τους χωρίζονται σε διαφορετικές αγορές όπως π.χ. ειναι η αγορά των ομολόγων, η αγορά των μετοχών, η αγορά των παραγώγων συμβολαίων (π.χ. futures, options), η αγορά συναλλάγματος κλπ.

1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α 1.2.4 Qartofulˆkia tðtlwn Ορισμός 1.2.3 Ενα χαρτοφυλάκιο είναι μία συλλογή απο τίτλους. Ενα χαρτοφυλάκιο το οποίο μπορεί να αποτελείται απο N τίτλους μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά απο ένα διάνυσμα x = (x 1, x 2,, x N ). Το x i εκφράζει την ποσότητα του τίτλου i που κρατάμε στην κατοχή μας. Ο αριθμός αυτός μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός. Ο θετικός αριθμός εκφράζει μία θέση αγοράς (long position) ενώ ο αρνητικός αριθμός εκφράζει μία θέση πώλησης ή θέση δανεισμού (short position). Παράδειγμα 1.2.7 Ας υποθέσουμε οτι ένα επενδυτής μπορεί να τοποθετηθεί σε μετοχές των εταιρειών X, Y και Z. Ας υποθέσουμε λοιπόν οτι αγοράζει (έχει στην κατοχή του) 1 κομμάτια της μετοχής X, 4 κομμάτια της μετοχής Z και ότι δανείζεται 5 κομμάτια της μετοχής Y (τα οποία φυσικά θα πρέπει να τα επιστρέψει). Στην περίπτωση αυτή N = 3 και το χαρτοφυλάκιο του θα μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά απο το διάνυσμα (1, 5, 4). Φυσικά τα χαρτοφυλάκια δεν είναι απαραίτητο να αποτελούνται απο ομοειδείς τίτλους, μπορεί και όπως θα δούμε κάτι τέτοιο επιβάλλεται απο την ποσοτική θεωρία χαρτοφυλακίου, να αποτελούνται απο διαφορετικούς τίτλους, π.χ. μπορέι να έχουμε χαρτοφυλάκια τα οποία αποτελούνται απο μετοχές, δικαιώματα επάνω σε μετοχές ή δείκτες, ομόλογα, εταιρικά ομόλογα, συμβόλαια μελοντικής εκπλήρωσης (futures) κ.α. Στην χρήση ανόμοιων, με βάσει διαφόρα χαρακτηριστικά που θα αναπτύξουμε στην συνέχεια, βασίζεται η θεωρία του διαφοροποιημένου χαρτοφυλακίου που αποτελεί ένα απο τα θεμέλια της μοντέρνας θεωρίας χαρτοφυλακίου. Θα επανέλθουμε στο θέμα αυτό εκτενώς στην συνέχεια. 1.3 H mejodologða twn Qrhmatooikonomik n Τα χρηματοοικονομικά σαν οποιαδήποτε επιστημονική θεωρία μπορεί να έχουν δύο μορφές. Κανονιστικό πλαισιο (normative framework) Μία κανονιστική θεωρία είναι μία θεωρία που ουσιαστικά δίνει μία διαδικασία ή ένα σύνολο κανόνων για την επίτευξη κάποιου σκοπού. Τα χρηματοοικονομικά μπορεί να έχουν κανονιστική μορφή. Σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε προβλήματα βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου, αξιολόγησης επενδύσεων κλπ. Το θετικό πλαίσιο (positive framework). Μία θετική θεωρία είναι μία θεωρία η οποία περιγράφει το πως θα έπρεπε να ήταν ο κόσμος. Μία θετική θεωρία είναι μία περιγραφή του πως λειτουργεί κάποιο κομμάτι του κόσμου. Μία θετική θεωρία δεν δίνει απαραίτητα το τρόπο του πως μπορεί να γίνει κάτι αλλά αποσκοπεί περισσότερο στην κατανόηση του κόσμου. Οι υποθέσεις μίας θετικής θεωρίας μπορεί να είναι αρκετά απλοικές αλλά η επιτυχία της σχετίζεται περισσότερο με το πόσο επιτυχημένες είναι οι απλοποιήσεις που έχουμε κάνει. Ορισμένα από τα μοντέλα των χρηματοοικονομικών μπορεί να έχουν τέτοια μορφή. Σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε μοντέλα για την αποτίμηση περιουσιακών στοιχείων κάτω από την υπόθεση της απουσίας arbitrage 1.4 H ènnoia thc axðac Στα χρηματοοικονομικά (όπως άλλωστε και γενικότερα στην Οικονομική επιστήμη) μία συνεχώς εμφανιζόμενη έννοια είναι η έννοια της αξίας. Σχετική με την έννοια αυτή είναι η έννοια της τιμής ενός αγαθού (π.χ. πολλές φορές ακούγεται η έννοια δίκαιη τιμή ενός αγαθού). Ορισμός 1.4.1 Η αξία ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου είναι η τιμή που η αγορά είναι πρόθυμη να δώσει για τις απολαβές που θα παρέχει στον κάτοχο του αυτός ο τίτλος. Πολλές φορές η αξία αυτή ονομάζεται και η αξία στην άγορα του περιουσιακού αυτού στοιχείου. Ο καθορισμός της αξίας ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου είναι και ένα από τα βασικά προβλήματα των χρηματοοικονομικών μαθηματικών. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την αποτίμηση μίας μετοχής. Η κατοχή της μετοχής αυτής εξασφαλίζει στον φέροντα μία μελλοντική σειρά από πληρωμές. Δύο είναι τα βασικά στοιχεία που πρέπει να κρατήσουμε υπόψην μας εδώ. Το πρώτο είναι ότι οι απολαβές από το περιουσιακό στοιχείο έρχονται στο μέλλον και όχι την σημερινή στιγμή. Το δεύτερο είναι ότι οι απολαβές αυτές δεν είναι σίγουρες αλλά εμπεριέχουν το στοιχείο του κινδύνου. Μια εκτίμηση για την τιμή της μετοχής θα είναι η κεφαλαιοποιημένη αξία των πληρωμών που θα μαζέψει ο κάτοχος της

1.5. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΧΡ ΟΝΟΥ ΚΑΙ Η ΣΧ ΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΞ ΙΑ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΚ ΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ11 μετοχής στο μέλλον. Θα πρέπει τις πληρωμές αυτές να τις θεωρήσουμε περισσότερο με την έννοια του αποθέματος παρά με την έννοια της ροής. Η κεφαλαιοποιημένη αξία είναι η αξία της συνολικής ροής των πληρωμών κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Το ότι οι πληρωμές γίνονται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές από την στιγμή που μας ζητείται να ορίσουμε την αξία της μετοχής φέρνει στο προσκήνιο την έννοια της προεξόφλησης (discounting). Η έννοια αυτή ουσιαστικά ανάγει την μία μελλοντική σειρά πληρωμών στην σημερινή τους αξία. Πολλές φορές στην μετατροπή αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη όχι μόνο το ότι οι πληρωμές θα γίνουν στο μέλλον αλλά και ότι οι πληρωμές αυτές εμπεριέχουν και την έννοια του κινδύνου (π.χ. στην περίπτωση των μερισμάτων μετοχών). Σαν απλό βασικό κανόνα πρίν εμπλακούμε στον μαθηματικό φορμαλισμό των παραπάνω εννοιών μπορούμε να δώσουμε το εξής: Οταν κάποιο εισόδημα πρόκειται να ληφθεί στο μέλλον και όταν το εισόδημα αυτό είναι αβέβαιο, τότε η αξία του εισοδήματος αυτού σήμερα θα είναι γενικά μικρότερη από το ποσό που αναμένουμε να λάβουμε στο μέλλον. Φυσικά με τον απλό αυτό ορισμό της έννοιας της αξίας ερχόμαστε γρήγορα σε αδιέξοδο όταν θέλουμε να μελετήσουμε πιο περίπλοκα περιουσιακά στοιχεία. Τα περιουσιακά στοιχεία για τα οποία αντιμετωπίζουμε πρόβλημα με την λογική αυτή είναι τα περιουσιακά στοιχεία για τα οποία δεν υπάρχει μία αγορά στην οποία μπορούν να μεταπωληθούν. Σαν παράδειγμα τέτοιων περιουσιακών στοιχείων μπορούμε να αναφέρουμε το ανθρώπινο κεφάλαιο (ανθρώπινο δυναμικό, human capital). Οι αγορές που σχετίζονται με τέτοια περιουσιακά στοιχεία ονομάζονται λεπτές αγορές (thin markets) και εν γένει η αποτίμηση περιουσιακών στοιχείων που σχετίζονται με τις αγορές αυτές είναι αρκετά δύσκολο εγχείρημα. Η αποτίμηση τέτοιων περιουσιακών στοιχείων και πάλι θα βασιστεί στην έννοια της προεξόφλησης (discounting ) αλλά το ακριβές ύψος της αξίας είναι δύσκολο να προσδιοριστεί λόγω του γεγονότος ότι το περιουσιακό αυτό στοιχείο δεν συναλλάσεται σε κάποια αγορά. Στα μαθήματα αυτά θα περιοριστούμε στην αποτίμηση χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων τα οποία δεν αντιμετωπίζουν τέτοια προβλήματα. 1.5 H ènnoia tou qrìnou kai h sqèsh thc me thn axða twn periousiak n stoiqeðwn Δύο στοιχεία παίζουν σημαντικό ρόλο στην αποτίμηση κάποιων περιουσιακών στοιχείων: ο χρόνος και η αβεβαιότητα. Η βασική στρατηγική για την αποτίμηση κάποιου περιουσιακού στοιχείου, η οποια μπορεί να ενσωματώσει αυτά τα δύο βασικά στοιχεία είναι η μετατροπή όλων των μελλοντικών πληρωμών στην σημερινή χρονική στιγμή. Αυτό χρειάζεται αφού οι συντελεστές της αγοράς δεν είναι αδιάφοροι ως προς τις χρονικές στιγμές στις οποίες λαμβάνονται ίδιες πληρωμές. Αν δεν υπήρχε ούτε αβεβαιότητα και οι συντελεστές της αγοράς ήταν αδιάφοροι ως προς την έννοια του χρόνου τότε η αξία ενός περιουσιακού στοιχείου θα δίνονταν από την σχέση V = N t=1 όπου I t είναι το εισόδημα που συσσωρεύεται λόγω της κατοχής του περιουσιακού στοιχείου την χρονική περίοδο t. Στην πραγματικότητα όμως αυτό δεν ισχύει εφόσον υπάρχει η έννοια του επιτοκίου που πηγάζει ότι το η αγορά δεν είναι αδιάφορη ως προς την διαφορά μεταξύ ισοδύναμων ποσών που όμως λαμβάνονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Η έννοια του τόκου που θα χρησιμοποιήσουμε στα πλαίσια του μαθήματος αυτού είναι σχετικα απλή. Το επιτόκιο θα θεωρείται σαν μία τιμή ενός αγαθού που στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι το χρήμα (ρευστό). Για μία χρονική περίοδο το επιτόκιο είναι η τιμή που πρέπει κάποιος να πληρώσει για την αργοπορία της πληρωμής ενός ποσού για την περίοδο αυτή. Παράδειγμα 1.5.1 Αν υποθέσουμε ότι το επιτόκιο είναι 8% το έτος και πρέπει να πληρώσουμε 1 ευρώ σήμερα το κόστος της καθυστέρησης της πληρωμής κατά ένα χρόνο θα είναι 8 ευρώ και το ποσό που θα καλεστούμε να πληρώσουμε το επόμενο έτος θα είναι 18 ευρώ. Συνεπώς, εν γένει το κόστος της καθυστέρησης της πληρωμής θα μπορεί να γραφεί ως C = r A όπου r είναι το επιτόκιο και A το ποσό της πληρωμής. Το ποσό που θα οφείλουμε το επόμενο έτος θα είναι I t D = (1 + r) A

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α Το επιτόκιο μπορεί συνεπώς να θεωρηθεί σαν την τιμή ενός συγκεκριμένου αγαθού στην αγορά μόνο που το αγαθό αυτό είναι πιο ασαφές από τα άλλα αγαθά που έχουμε συναντήσει ως τώρα. Το αγαθό αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η καθυστέρηση της πληρωμής κάποιου χρέους, και η αξία αυτού καθορίζεται από το πόσο χρήσιμο είναι το ποσό αυτό για το συγκεκριμένο άτομο την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η χρησιμότητα αυτή δεν σχετίζεται με το ποσό αυτό καθεαυτό αλλά με το τι μπορεί να αντιπροσωπέυει το ποσό αυτό όσον αφορά την κατανάλωση αγαθών. Ας δούμε το πως μπορούμε να υπολογίσουμε το επιτόκιο σε απλές καταστάσεις όπου έχουμε αμελήσει την έννοια της τυχαιότητας. Το απλό επιτόκιο: Ας θεωρήσουμε ότι το ποσό ενός δανείου ή ένος ομολόγου αντιπροσωπεύεται από το P 1 και μετά από μία περίοδο αντιπροσωπεύεται από το P 2 (σε κάποιο νόμισμα). Το επιτόκιο μπορεί να οριστεί από την σχέση 1 + r = P 2 P 1 Το σύνθετο επιτόκιο (compound interest) όταν χρειαστεί να ασχοληθούμε με δάνεια ή ομόλογα τα οποία δεν είναι μονάχα μίας περιόδου θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στο να διαχωρίζουμε μεταξύ του απλού επιτοκίου και του σύνθετου επιτοκίου. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ένα ομόλογο το οποίο έχει αξία P 1 σήμερα και αξία P N μετά από N 1 χρονικές περιόδους. Με απλές αλγεβρικές πράξεις μπορούμε να δούμε ότι η αξία την περίοδο N θα είναι P N = P 1 (r + 1) N 1 και από την σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε το επιτόκιο. Συνεχής ανατοκισμός: Ας υποθέσουμε ότι ο ανατοκισμός του ποσού γίνεται συνεχώς στον χρόνο, δηλαδή ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι χωρίσαμε το χρονικό διάστημα [, T ] σε απειροστά χρονικά διαστήματα μήκους dt και ότι κατά την διάρκεια του διαστήματος αυτού το ποσό αυξάνεται κατά το r dt. Κατά συνέπεια, το r μπορεί να θεωρηθεί σαν ο ρυθμός αύξησης του ποσού. Αν P (t) είναι η αξία του ποσού την χρονίκή στιγμή t τότε ισχύει ότι dp (t) = r P (t) dt συνεπώς P (t) = P () exp(r t) όπου P () είναι το αρχικό ποσό που τοποθετήσαμε στην τράπεζα. Θα αρκεστούμε εδώ στο πλαίσιο αυτό και θα επανέλθουμε σε προβήματα όπως τον ορισμό του επιτοκίου για πιο σύνθετα συμβόλαια, όπως π.χ. ομόλογα με κουπόνια αργότερα. 1.6 Eisagwg stic ènnoiec thc paroôshc kai thc mellontik c axðac Θα ξεκινήσουμε με μερικά παραδείγματα: Παράδειγμα 1.6.1 Ας υποθέσουμε ότι τοποθετούμε 1 Euro στην τράπεζα σήμερα με επιτόκιο r και το αφήνουμε εκεί για N έτη. Ποια θα είναι η αξία του ποσού αυτού το τέλος των N ετών; Απλή άλγεβρα μπορεί να μας δώσει ότι F V = 1(1 + r) N Για παράδειγμα, 1 Euro με επιτόκιο 1% θα αποκτήσει στην τράπεζα μελλοντική αξία σε 1 έτη ίση με 2.59 Euro. Παράδειγμα 1.6.2 Ας αντιστρέψουμε το ερώτημα του παραπάνω παραδείγματος. Ποια είναι η αξία σήμερα 1 Euro το οποίο θα λάβουμε N χρονικές περιόδους απο σήμερα; Σχετικά απλά μπορούμε να δούμε ότι P V = 1 (1 + r) N Με διαφορετικά λόγια μπορούμενα πούμε ότι P V είναι το ποσό που θα πρέπει να τοποθετήσουμε σήμερα στην τράπεζα με επιτόκιο r για να έχουμε σε N έτη το ποσό του 1 Euro.

1.6. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟ ΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚ ΗΣ ΑΞ ΙΑΣ 13 Παράδειγμα 1.6.3 Ας υποθέσουμε ότι τοποθετούμε κάθε χρονο 1 Euro στην τράπεζα επί 1 έτη. Στο τέλος μίας περιόδου N η μελλοντική αξία της επένδυσης αυτής θα είναι ίση προς F V = 1(1 + r) + 1(1 + r) 2 +... + 1(1 + r) N = N 1(1 + r) t Παράδειγμα 1.6.4 Το αντίστροφο στο παραπάνω ερώτημα είναι το ακόλουθο: Ποιά η αξία σήμερα μίας ροής εισοδήματος 1 Euro που λαμβάνεται στο τέλος κάθε περιόδου για N περιόδους; Είναι σημαντικό να κάνουμε την διάκριση του αν το 1 Euro λαμβάνεται στην αρχή ή το τέλος της περιόδου. Εφόσον ξεκαθαρίζεται ότι το ποσό λαμβάνεται στο τέλος της περιόδου η αξία του πρώτου Euro που λαμβάνεται είναι 1/(1 + r) η αξία του δεύτερου Euro που λαμβάνεται είναι 1/(1 + r) 2 και ούτω καθεξής ώσπου η αξία του τελευταίου Euro που λαμβάνεται θα είναι 1/(1 + r) N. Η σημερινή λοιπόν αξία της ροής εισοδήματος που παράγεται από το παραπάνω θα είναι P V = t=1 1 (1 + r) 1 + 1 (1 + r) 2 +... 1 N (1 + r) N = 1 (1 + r) t Το παραπάνω μπορεί και να γενικευθεί και στην περίπτωση που οι πληρωμές δεν είναι σταθερές στο τέλος της κάθε περιόδου αλλά λαμβάνουμε ένα ποσό A t. Η παρούσα αξία στην περίπτωση αυτή θα είναι P V = N t=1 A t (1 + r) t Η έννοια της παρούσης αξίας είναι καίρια για τα χρηματοοικονομικά γιατί αποτελεί την βάση για την αποτίμηση των περιουσιακών στοιχείων. Οπως έχει ήδη γίνει σαφές, η τιμή ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου θα είναι η παρουσα αξία των σειρών πληρωμών που αυτό θα αποφέρει κατάλληλα αλλαγμένες ώστε να λαμβάνεται υπόψη και η έννοια του κινδύνου. Ομως η έννοια της παρούσας αξίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παράδειγμα και για την αποτίμηση κάποιας επένδυσης. Παράδειγμα 1.6.5 Ας θεωρήσουμε ότι μία εταιρεία σκέπτεται να επενδύσει σε κάποιο περιουσιακό στοιχείο το οποίο θα της παρέχει το ποσό των 1, Euro ανα έτος για τα επόμενα 1 έτη. Ας υποθέσουμε οτι το επιτόκιο είναι 12% και το κόστος της επένδυσης είναι 3, Euro. Η μεικτή παρούσα αξία της επένδυσης θα είναι ίση προς GP V = ενώ η καθαρή παρούσα αξία θα είναι ίση προς 1 t=1 1, 1.12 t = 56, 52 t=1 NP V = GP V C = 56, 52 3, = 26, 52 Euro Το παράδειγμα αυτό μας δίνει ένα απλό τρόπο για την αξιολόγηση επενδύσεων. Παράδειγμα 1.6.6 Αν θεωρήσουμε ότι η συχνότητα του ανατοκισμού είναι πολύ μεγάλη τότε ο τύπος του ανατοκισμού για N περιόδους μπορεί να πάρει την εξής εναλλακτική μορφή. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο ανατοκισμός λαμβάνει χώρα m φορές ανα έτος με ετήσιο επιτόκιο r ή διαφορετικά με επιτόκιο r m ανά ανατοκισμό. Η παρούσα αξία των A Euro που θα ληφθεί N περιόδους από σήμερα θα είναι Στο όριο όπου m η σχέση αυτή γίνεται A P V = (1 + r m )mn P V = A exp( rn) Θα δώσουμε τώρα εφαρμογές της έννοιας της παρούσας αξίας στην αποτίμηση ορισμένων απλών χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α Παράδειγμα 1.6.7 (Διηνεκή Perpetuities ) Υπάρχουν ορισμένα ομόλογα τα οποία δεν έχουν ουσιαστικά ημερομηνία λήξης. Σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε το ομόλογο Consol το οποίο εξέδιδε το Βρεταννικό Δημόσιο Ταμείο και το οποίο εξασφάλιζε στον φέροντα ένα σταθερό εισόδημα ουσιαστικά για πάντα. Αν A είναι το ποσό αυτό τότε η παρούσα αξία του ομολόγου αυτού που μπορεί να θεωρηθεί και ότι είναι η τιμή του στην αγορά θα είναι ίση προς P V = t=1 A (1 + r) t Μία απλή εφαρμογή της θεωρίας των γεωμετρικών σειρών μας δείχνει ότι 1 P V = A 1 1 1 = 1 r 1+r Παράδειγμα 1.6.8 ( Η αξία μίας μετοχής) Η ροή των αποδοχών από μία μετοχή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι προέρχεται από τα μερίσματα και από το κέρδος ή την απώλεια κεφαλαίου από την τιμή της μετοχής. Η τιμή της μετοχής σήμερα θα εξαρτάται από τα κεφαλαιοποιημένα μελλοντικά εισοδήματα αρκεί φυσικά να συνεχίσει να υπάρχει η εταιρεία η οποία εξέδωσε την μετοχή. Αν D t είναι το αναμενόμενο μέρισμα από την μετοχή την χρονική περίοδο t, και αν η εταιρεία συνεχίσει να υπάρχει για N χρονικές περιόδους, η παρούσα αξία της μετοχής θα είναι P V = N t=1 D t (1 + r) t Δεν έχουμε λάβει υπόψη την έννοια της αβεβαιότητας. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά αν θεωρήσουμε ότι τα μερίσματα αυξάνονται με κάποιο σταθερό ρυθμό. Τότε έχουμε ότι και η παρούσα αξία της μετοχής θα είναι D t = D (1 + g) t P V = 1.7 Abebaiìthta kai axða t t=1 D (1 + g) t (1 + r) t Η έννοια της αβεβαιότητας, που σχετίζεται με την έννοια του κινδύνου είναι θεμελιώδης για την αποτίμηση των περιουσιακών στοιχείων. Για παράδειγμα αν ένας επενδυτής αποστρέφεται τον κίνδυνο, θα ζητήσει μεγαλύτερητιμή για ένα περιουσιακό στοιχείο που περιέχει υψηλό βαθμό κινδύνου. Ενα περιουσιακό στοιχείο που περιέχει κίνδυνο θα πρέπει να έχει μεγαλύτερη απόδοση από κάποιο άλλο έτσι ώστε να προτιμηθεί. Για την σωστή μελέτη της αποτίμησης λοιπόν είναι αναγκαίο να βρούμε κάποιο τρόπο ώστε να μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε την έννοια του κινδύνου. Για να μοντελοποιήσουμε την έννοια της αβεβαιότητας αρκεί αν θεωρήσουμε ότι υπάρχουν ορισμένες καταστάσεις της οικονομίας και δεν είναι γνωστό από την αρχή ποιά κατάσταση από αυτές θα πραγματοποιηθεί. Οι αποδόσεις των διαφόρων περιουσιακών στοιχείων σχετίζονται από την κατάσταση της οικονομίας που θα πραγματοποιηθεί. Για την μαθηματική μοντελοποίηση αυτής της κατάστασης θα πρέπει να ορίσουμε έναν κατάλληλα επιλεγμένο χώρο πιθανοτήτων και επάνω σε αυτό μία κατανομή πιθανοτήτων η οποία θα μας καθορίζει πόσο πιθανή είναι κάποια από τις καταστάσεις της οικονομίας. Εναλλακτικά μπορεί κανείς να παράγει (είτε εμπειρικά είτε με θεωρητικά μοντέλα) τις κατανομές πιθανότητας των αποδόσεων των διαφόρων περιουσιακών στοιχείων. Εχοντας αυτή την κατανομή πιθανότητας μπορούμε να βρούμε την αναμενόμενη απόδοση ως την μέση τιμή των αποδόσεων επάνω στην κατανομή πιθανότητας που αυτές ακολουθούνε. Οταν αναφερόμαστε στην αναμενόμενη απόδοση εννούμε κατά την ex ante έννοια δηλαδή βάσει της γνώσης που έχουμε πριν το γεγονός συμβεί. Παράδειγμα 1.7.1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν μικροπωλητή που εμπορεύεται 4 διαφορετικά περιουσιακά στοιχεία, ομπρέλες, γυαλιά ηλίου, ζεστά ποτά και αναψυκτικά. Ας ονομάσουμε τα περιουσιακά στοιχεία αυτά A, B,

1.7. ΑΒΕΒΑΙ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΞ ΙΑ 15 C και D. Οι καταστάσεις του κόσμου στην παρούσα περίπτωση σχετίζονται με τον καιρό ο οποίος μπορεί να είναι ηλιόλουστος, συνεφιασμένος ή βροχερός. Ας συμβολίσουμε τις καταστάσεις αυτές με ω 1,ω 2,ω 3 αντιστοιχως. Η μετεωρολογική υπηρεσία δίνει πιθανότητα 2% να είναι ο καιρός ηλιόλουστος, 3% να είναι ο καιρός συννεφιασμένος και 5% να είναι ο καιρός βροχερός. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται ο αποδόσεις για το κάθε περιουσιακό στοιχείο σε κάθε κατάσταση του κόσμου Η μέση απόδοση του A θα είναι ΚΑΤ/ΣΗ ΠΙΘ/ΤΗΤΑ R A R B R C R D ω 1.2 1 3 15 ω 2.3 5 5 ω 3.5 4 15 1 E[R A ] = ω P (ω)r A (ω) =.2 +.3 + 4.5 = 2 Ομοια με τις αποδόσεις των άλλων περιουσιακών στοιχείων. Η αναμενόμενη απόδοση θεωρείται ότι είναι η καλύτερη δυνατή πρόβλεψη σχετικά με το ποιά θα είναι η μελλοντική πραγματική απόδοση. Θα πάμε τώρα στο θέμα της μέτρησης του κινδύνου. Η βασική ιδέα πίσω από την μέτρηση του κινδύνου είναι το πόσο μπορεί να μεταβάλλεται η πραγματική απόδοση από την αναμενόμενη απόδοση. Από την στοιχειώδη στατιστική γνωρίζουμε ότι η πληροφορία αυτή μας δίνεται από την ποσότητα της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης. Η διακύμανση θα δίνεται από την σχέση όπου σ είναι η τυπική απόκλιση. V ar(r) = σ 2 = E[(R E[R]) 2 ] Παράδειγμα 1.7.2 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία οικονομία που μπορεί να έχει 5 καταστάσεις τις οποίες θα συμβολίσουμε ω i, i = 1, 2, 3, 4, 5 και τρία διαφορετικά περιουσιακά στοιχεία τα οποία θα συμβολίζουμε A, B, και C. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι αποδόσεις τους ΚΑΤ/ΣΗ ΠΙΘ/ΤΗΤΑ R A R B R C ω 1.1 5, 5 3, 13, ω 2.2 6, 5, 11, ω 3.4 7, 7, 9, ω 4.2 8, 9, 7, ω 5.1 8, 5 11, 5, Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι αναμενόμενες αποδόσεις, οι διακυμάνσεις και η τυπική απόκλιση των περιουσιακών αυτών στοιχείων. Π.Σ. E[R] V ar[r] σ A 7, 85, 922 B 7, 4, 8, 2, 191 C 9, 4, 8, 2, 191 Με βάση τον συνδυασμό της μέσης απόδοσης και της διακύμανσης μπορεί ένας επενδυτής ανάλογα με τις προτιμήσεις του ως προς την απόδοση και τον κίνδυνο να επιλέξει τα περιουσιακά στοιχεία ή την επιλογή περιουσιακών στοιχείων (χαρτοφυλάκιο) που τον ικανοποιεί. Η έννοια της προσωπικής προτίμησης εκφράζεται στα οικονομικά με την έννοια της συνάρτησης ωφελιμότητας και των καμπύλων αδιαφορίας που εδώ θα είναι καμπύλες στον χώρο που παράγεται από την μέση απόδοση και την διακύμανση. Μπορούμε επίσης να ασχοληθούμε και με την σχέση μεταξύ περιουσιακών στοιχείων που θα μας δώσει μία ιδέα πως οι μεταβολές των αποδόσεων των περιουσιακών αυτών στοιχείων σχετίζονται. Αυτό δίνεται από τον συντελεστή συσχέτισης των αποδόσεων ο οποίος με την σειρά του σχετίζετια με την συνδιακύμανση. Η συνδιακύμανση των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων A και B δίνεται από τον τύπο σ 2 A,B = E[(R A E[R A ])(R B E[R B ])]

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α Σε αντίθεση με την διακύμανση, η συνδιακύμανση μπορεί να είναι και αρνητική. Ο συντελεστής συσχετίσεως των περιουσιακών στοιχείων ορίζεται από την σχέση ρ A,B = σ2 A,B σ A σ B Ο συντελεστής συσχετίσεως παίρνει τιμές από 1 εως +1 Μεγάλος συντελεστής συσχέτισης και θετικός δείχνει ισχυρή και θετική συσχέτιση μεταξύ των αποδόσεων των δύο περιουσιακών στοιχείων κλπ. Πολλές φορές θα χρειαστεί να έχουμε μία συλλογή από περιουσιακά στοιχεία τα οποία ονομάζονται χαρτοφυλάκιο. Μπορούμε να ορίσουμε με παρόμοιο τρόπο την απόδοση και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου. Σαν παράδειγμα φέρονουμε την περίπτωση όπου έχουμε q% του ολικού πλούτου στο περιουσιακό στοιχείο A και (1 q)% του συνολικού πλούτου στο περιουσιακό στοιχείο B. Η απόδοση του χαρτοφυλακίου αυτού θα είναι R p = xr A + (1 x)r B Η αναμενόμενη λοιπόν απόδοση του χαρτοφυλακίου θα είναι E[R p ] = xe[r A ] + (1 x)e[r B ] ενώ η διακύμανση που θα μας δίνει μία ιδέα για τον κίνδυνο θα δίνεται από την σχέση σ 2 R p = E[(R p E[R p ]) 2 ] = x 2 σ 2 R A + (1 x) 2 σ 2 R B + 2x(1 x)ρ A,B σ RA σ RB Ανάλογα με το πως θα επιλεγεί το x μπορούμε να κατασκευάσουμε χαρτοφυλάκια με διαφορετικές σχέσεις απόδοσης και κινδύνου. Ενα μεγάλο μέρος της θεωρία χαρτοφυλακίου σχετίζεται με τις ιδέες αυτές. 1.8 Eisagwg sthn ènnoia tou kindônou kai thn tupologða tou Μία επένδυση δεν είναι ποτέ απολύτως βέβαιη, με την έννοια ότι δεν μπορεί ποτέ κανένας να εγγυηθεί τις αποδόσεις της. Ακόμη και οι πιο βέβαιοι τίτλοι, π.χ. τα κρατικά ομόλογα, ή οι τραπεζικοί λογαριασμοί ενέχουν κινδύνων, οι οποίοι μπορεί να μειώσουν δραστικά τις αποδόσεις τους. Η έννοια του κινδύνου είναι πολύ γενική, συνεπώς για να μπορέσουμε να κάνουμε κάποια βήματα ως προς την μέτρηση και την διαχείριση του θα πρέπει να είμαστε λίγο πιο συγκεκριμένοι. Στο μάθημα αυτό θα επικεντρώσουμε στις έννοια του κινδύνου όπως αυτή μπορεί να εμφανιστεί στις οικονομικές συναλλαγές και η οποία μπορεί να μετρηθεί στις μεταβολές των αποδόσεων των διαφόρων περιουσιακών στοιχείων (τίτλων). Η έννοια του κινδύνου όπως θα την συναντήσουμε στο μάθημα αυτό σχετίζεται με το ότι οι απολαβές και οι αποδόσεις των τίτλων δεν είναι βέβαιες αλλά δεν γνωρίζουμε απο πριν την ακριβή τους τιμή. Οι πιθανές τους αποκλίσεις μπορεί να οφείλονται σε μία σειρά από διαφορετικές αιτίες οι οποίες με την σειρά τους σχετίζονται με τις ιδιαιτερότητες των συγκεκριμένων τίτλων. Οι διαφορετικές αυτές αιτίες ονομάζονται παράγοντες κινδύνου (risk factors). Αναφέρουμε εν συντομία ορισμένους πιθανόύς παράγοντες κινδύνου. Επιχειρηματικός κίνδυνος είναι ο κίνδυνος των χρηματοροών που σχετίζονται με φύση της επιχείρησης. Ο κίνδυνος αυτός μπορεί να επηρεάσει τις αποδόσεις των μετοχών ή των εταιρικών ομολόγων της επιχείρησης αυτής. Για παράδειγμα ορισμένες επιχειρήσεις αντιμετωπίζουν μεγαλύτερους κινδύνους απο άλλες, π.χ. μία εταιρεία υπολογιστών αντιμετωπίζει μεγάλο κίνδυνο να ξεπεραστεί η τεχνολογία της σε αντίθεση με μία εταιρία συσκευασίας αγροτικών προιόντων. Χρηματοοικονομικός κίνδυνος Αυτό είναι ο κίνδυνος που σχετίζεται με τον τρόπο που μία επιχέιρηση χρηματοδοτεί τις δραστηριότητες της. Για παράδειγμα μία ασφαλιστική εταιρία που έχει τοποθετήσει το αποθεματικό της σε επενδύσεις στο χρηματιστήριο αντιμετωπίζει χρηματοοικονομικό κίνδυνο γιατί το ύψος του χαρτοφυλακίου της εξαρτάται από την κατάσταση της χρηματοοικονομικής αγοράς. Ο χρηματοοικονομικός κίνδυνος είναι από τις πιο καλά μελετημένες μορφές κινδύνου, εφόσον είναι και ο ευκολότερος να ποσοτικοποιηθεί. Συναλλαγματικός κίνδυνος είναι ο κίνδυνος που σχετίζεται με τις διακυμάνσεις της τιμής του συναλλάγματος. Τέτοιους κινδύνους π.χ. μπορεί να αντιμετωπίζουν εταιρίες και οργανισμοί που δραστηροποιούνται σε διεθνές επίπεδο και έχουν συναλλαγές σε ξένο νόμισμα.

1.9. ARBIT RAGE 17 Πολιτικός κίνδυνος είναι ο κίνδυνος ο οποίος σχετίζεται με την πολιτική κατάσταση της χώρας ή των χωρών σχετίζονται με τις δραστηριότητες της εταιρίας ή του οργανισμού. Τα κρατικά ομόλογα είναι πολύ ευαίσθητα στον πολιτικό κίνδυνο. Ασφαλιστικός κίνδυνος Οι ασφαλιστικές εταιρίες έρχονται αντιμέτωπες με μία σειρά κινδύνων οι οποίοι σχετίζονται με τις δραστηριότητες τους. Η έννοια του κινδύνου γι αυτές μπορεί να ακούγεται παράδοξη για εμάς. Για παράδειγμα, αν ο μέσος όρος ζωής ανέβαινε αισθητά, οι ασφαλιστικές εταιρίες που δραστηριοποιούνται στην διαχείριση ασφαλιστικών και συνταξιοδοτικών ταμείων θα οδηγούνταν σε οικονομική καταστροφή. Ο κίνδυνος αυτός ακούει στο παράδοξο όνομα, κίνδυνος μακροβιότητας. Τεχνολογικός κίνδυνος Ο κίνδυνος που προέρχεται από την προηγμένη τεχνολογία π.χ. hacking κλπ. Η λίστα αυτή είναι απλά ενδεικτική και αν βάζαμε την φαντασία μας να δουλέψει θα μπορούσε να μην τελειώνει ποτέ! Αλλά ένα σημαντικό θέμα στην ανάλυση και την διαχείριση του κινδύνου είναι να ξεχωρίσει κανείς και να μοντελοποιήσει τους βασικότερους παράγοντες κινδύνου που απειλούν μία συγκεκριμένη δραστηριότητα. Η αντιμετώπιση των παραγόντων αυτών μπορεί να γίνει είτε με μέτρα περιορισμού τους ή με την χρήση κατάλληλα σχεδιασμένων χρηματοοικονομικών συμβολαίων τα οποία μπορεί να μετριάσουν τις επιπτώσεις κάποιου συγκεκριμένου παράγοντα κινδύνου. Τα συμβόλαια αυτά είναι τα λεγόμενα παράγωγα συμβόλαια, οι απολαβές των οποίων σχετίζονται με τις απολαβές ορισμένων βασικών τίτλων. Θα συζητήσουμε το θέμα αυτό λεπτομερώς στην συνέχεια, αλλά σαν ένα απλό παράδειγμα στο θέμα αυτό μπορούμε να δώσουμε το ακόλουθο. Παράδειγμα 1.8.1 Ας υποθέσουμε ότι ένας επενδυτής έχει στην κατοχή του μία μετοχή μιάς εταιρίας η οποία πιστεύει ότι πρόκειται να υποτιμηθεί αλλά δεν είναι σε θέση να την πουλήσει σήμερα. Αν η τιμή της μετοχής σήμερα ειναι π.χ. 1 και ο συγκεκριμένος επενδυτής πιστέυέι ότι η τιμή πρόκειται να πέσει στα 8 ο επενδυτής αυτός αντιμετωπίζει τον κίνδυνο απώλειας 2 μονάδων. Για να αντμετωπίσει το κίνδυνο αυτό μπορεί να αγοράσει ένα δικαίωμα πώλησης (put option) της μετοχής αυτής στην προκαθορισμένη τιμή των π.χ. 1. Αυτό είναι ένα συμβόλαιο το οποίο θα αγοράσει ο κάτοχος της μετοχής από οποιονδήποτε άλλο επενδυτή και έχοντας το στα χέρια του έχει το δικαίωμα να πουλήσει την μετοχή (σε αυτόν που του πούλησε το παράγωγο αυτό) την προκαθοριμένη τιμή των 1. Συνεπώς αν η τιμή της μετοχής πέσει στα 8 ο κάτοχος της θα χρησιμοποιήσει το παράγωγο συμβόλαιο για να την πουλήσει στην αρχική της τιμή των 1. Αν τυχόν η τιμή της μετοχής (παρά την αντίθετη ιδέα του κατόχου) ανέβει δεν θα χρησιμοποιήσει το παράγωγο και θα πουλήσει αν θέλει την μετοχή στην ελεύθερη αγορά για την τρέχουσα τιμή της. Με την χρήση λοιπόν του παραγώγου αυτού συμβολαίου ο επενδυτής ασφαλίζει το χαρτοφυλάκιο του έτσι ώστε να μην πέσει ποτέ κάτω από την αξία των 1. 1.9 Arbitrage Η έννοια του arbitrage παίζει κεντρικό ρόλο στην αποτίμηση των περιουσιακών στοιχείων. Το arbitrage είναι μία στρατηγική επενδυτή ο οποίος συναλλάσεται κατά τρόπο ώστε να εκμεταλευτεί τις αποκλίσεις από τις τιμές ισορρόπιας 1 των διαφόρων περιουσιακών στοιχείων με σκοπό την απόκτηση κέρδους χωρίς κίνδυνο. Αν και το arbitrage είναι το όνειρο του κάθε επενδυτή, η θεωρία των χρηματοοικονομικών κατά μεγάλο μέρος της βασίζεται στην αποδοχή ότι δεν μπορεί να υπάρχει ευκαιρία arbitrage. Η αποδοχή της απουσίας του arbitrage έχει σαφή μαθηματική περιγραφή με την χρήση των ιδιοτήτων των martingale ια κατάλληλα προεξόφλημένες τιμές των περιουσιακών στοιχείων. Επίσης σχετίζεται με τον νόμο της μοναδικής τιμής, κατά τον οποίο το ίδιο περιουσιακό στοιχείο συναλλάσσεται για μία μοναδική τιμή σε κάποια δεδομένη θέση και σε κάποιο δεδομένο χρόνο. Τέλος τα θεμελιώδη θεωρήματα σχετικά με την αποτίμηση περιουσιακών στοιχείων σχετίζονται με την απουσία arbitrage σαν παράδειγμα μπορούμε να φέρουμε το τύπο των Black και Scholes για την αποτίμηση παραγώγων συμβολαίων ή τα θεωρήματα Modigliani-Miller την χρηματοοικονομική των επιχειρήσεων (corporate finance). Θα εξετάσουμε τον μαθηματικό φορμαλισμό της έννοιας του arbitrage και τις εφαρμογές του στα χρηματοιοικονομικά με μεγάλη λεπτομέρεια στην διάρκεια του μαθήματος αυτού. Θα αρκεστούμε προς το παρόν να αναφέρουμε δύο παραδείγματα arbitrage. Παράδειγμα 1.9.1 ( Arbitrage στην αγορά συναλλάγματος) [1] Ας υποθέσουμε τους ακόλουθους 1 Tic timèc ìpou h prosforˆ exis netai me thn z thsh

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α λόγους ανταλλαγής μεταξύ του yen, της στερλίνας και του δολλαρίου 1 pound = 1.5 dollars 15 yen = 1 pound 1 dollar = 12 yen Με τους λόγους αυτούς, κάποιος θα μπορούσε να πουλήσει 1 στερλίνα για 1.5 δολλάρια, με το ποσό αυτό να αγοράσει 18 yen, και μετά να ξοδέψει 15 yen για να αγοράσει 1 στερλίνα. Συνεπώς πήρε πίσω το αρχικό ποσό που έδωσε (την 1 στερλίνα) αλλά έχει και κέρδος 3 yen. Αν συνεχίσει την στρατηγική αυτή θα συνεχίσει να έχει βέβαιο κέρδος 3 yen κάθε φορά οπότε θα καταλήξει με βέβαιο κέρδος. Αυτό είναι μία ευκαιρία arbitrage. Αν δεν υπάρχουν ατέλειες στην αγορά, οι διαφορές αυτές των τιμών που δημιουργούν το arbitrage γρήγορα θα εξαλειφθούν και η αγορά θα έλθει σε ισορροπία. Προσπαθείστε να βρείτε για ποιό λόγο ανταλλαγής θα εξαλείφονταν αυτή η ευκαιρία για arbitrage. Παράδειγμα 1.9.2 (Απουσία arbitrage και τιμολόγηση ομολόγων) [1] Ας θεωρήσουμε ένα ομόλογο που υπόσχεται να πληρώσει ένα ποσό u μία χρονική περίοδο από σήμερα. Αν το επιτόκιο είναι r ποιά θα είναι η τιμή του ομολόγου σήμερα; Η απουσία arbirtage επιβάλλει να ισχύει ότι ο ρυθμός απόδοσης του ομολόγου θα πρέπει να είναι ίσος με το τραπεζικό επιτόκιο r. Αν δεν συνέβαινε αυτό, και για παράδειγμα ο ρυθμός απόδοσης του ομολόγου ήταν μεγαλύτερος από το τραπεζικό επιτόκιο r, ένας επενδυτής θα μπορούσε να δανείζεται από την τράπεζα, να επενδύει σε ομόλογα, να χρησιμοποιεί τις αποδόσεις του ομολόγου για να αποπληρώνει το δάνειο και να του περισσεύει και βέβαιο κέρδος. Αυτό θα μπορούσε να το επαναλαμβάνει κάθε χρονική περίοδο. Ετσι θα υπάρχει μία ευκαιρία arbitrage. Ομοια και αν ισχύει το αντίθετο. Συνεπώς η απουσία arbitrage επιβάλλει r = u p p όπου p είναι η τιμή του ομολόγου. Συνεπώς, η δίκαιη τιμή του ομολόγου είναι p = 1 1 + r u Η απλή αυτή λογική μπορεί να γενικευθεί και στις περιπτώσεις όπου έχουμε πολλές χρονικές περιόδους και αβεβαιότητα. Η γενίκευσή αυτή αποτελεί ένα από τα αντικείμενα που θα παρουσιαστούν σε αυτό το βιβλίο. 1.1 Atèleiec twn agor n Στις πραγματικές αγορές υπάρχουν μία σειρά από ατέλειες. Οι κυριότερες από αυτές είναι Το κόστος των συναλλαγών: Στο κόστος των συναλλαγών μπορούμε να συμπεριλάβουμε τα διάφορα μεσιτικά έξοδα, τους φόρους κ.α. Ενα φαινόμενο που μπορεί να συμπεριληφθεί στο κόστος των συναλλαγών είναι η διαφορά της τιμής στην οποία πωλούνται μετοχές σε ένα χρηματιστηριακό γραφείο (bid price) και της τιμής πώλησης των μετοχών στους επενδυτές (ask price). Διάφοροι περιορισμοί Οι περιορισμοί αυτοί μπορεί να έχουν την μορφή θεσμοθετημένων κανονισμών, ή συνθηκών που θα πρέπει να τηρούνται. Ενα παράδειγμα μπορεί να είναι ο περιορισμός του short selling κλπ. Η παρουσία τριβών μας αναγκάζει να αναθεωρήσουμε ορισμένα από τα επιχειρήματα των κλασσικών χρηματοοικονομικών μαθηματικών αλλά σήμερα αναπτύσσονται ταχύτατα καινούργια μαθηματικά μοντέλλα τα οποία λαμβάνουν υπόψη τους περιορισμούς αυτούς. 1.11 Apotelesmatikìthta (ef f iciency) Θα κλείσουμε την εισαγωγή αυτή με την προκαταρκτική συζήτηση της έννοιας της αποτελεσματικότητας της αγοράς (market efficiency). Υπαρχουν διάφορες έννοιες της αποτελεσματικότητας στα χρηματοοικονομικά που αναφέρονται σε διαφορετικά πράγματα.

1.12. Σ ΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΧ ΟΛΙΑ 19 1. Αποτελεσματικότητα ως προς την διανομή των πόρων (αποτελεσματικότητα κατά Pareto ) Αυτή είναι βασική έννοια των οικονομικών γενικότερα. Μια διανομή είναι αποτελεσματική κατά Pareto αν οποιαδήποτε άλλη επαναδιανομή των πόρων κάνει κάποιον να βρίσκεται σε καλύτερη θέση από προηγουμένως θα κάνει κάποιον άλλον να βρίσκεται σε χειρότερη θέση από προηγουμένως. Οπως θα δούμε σύντομα παρακάτω, η έννοια της αποτελεσματικότητα κατά Pareto σχετίζεται με την θεωρία της γενικής ισορροπιας στην μικροοικονομική και την έννοια της πληρότητας ή όχι των αγορών. 2. Πληροφοριακή αποτελεσματικότητα. Η έννοια αυτή αναφέρεται στο πόσο οι τιμές των περιουσιακών στοιχείων αντικατοπτρίζουν την πληροφορία που είναι διαθέσιμη στους επενδυτές. Μία αγορά θα λέγεται αποτελεσματική αν οι τιμές των περιουσιακών στοιχείων πλήρως αντικατοπτρίζουν την πληροφορία που είναι διαθέσιμη στους επενδυτές. Θα δούμε παρακάτω τον μαθηματικό φορμαλισμό της υπόθεσης της αποτελεσματικότητας των αγορών, χρησιμοποιώντας την γλώσσα των στοχαστικών διαδικασιών και συγκεκριμένα την έννοια της υπό συνθήκη μέσης τιμής και της έννοια των martingale. 3. Αποτελεσματικότητα χαρτοφυλακίου. Η έννοια αυτή αναφέρεται στην επιλογή του χαρτοφυλακίου κατά τρόπο ώστε να πληρεί κάποιες συνθήκες όπως π.χ. την ελαχιστοποίηση του κινδύνου και την μεγιστοποίηση της απόδοσης. 1.12 SÔnoyh kai sqìlia Στην εισαγωγή αυτή προσπαθήσαμε να δώσουμε μερικές βασικές πληροφορίες για την επιστήμη των χρηματοοικονομικών, όσον αφορά τα προβλήματα με τα οποία ασχολούνται και τα βασικά πλαίσια στα οποία κινούνται. Ετσι συζητήθηκαν βασικές έννοιες όπως π.χ. η έννοια του επιτοκίου, η έννοια της παρούσης και της μελοντικής τιμής κάποιου περιουσιακού στοιχείου, η έννοια του arbitrage και η έννοια της αποτελεσματικότητας κλπ. Ο σκοπός του βιβλίου αυτού απο εδώ και πέρα είναι να μεταφράσει τις έννοιες αυτές σε μαθηματικές έννοιες και χρησιμοποιώντας αυτές να κατασκευάσει μοντέλλα τα οποία μπορεί να δώσουν λύσεις στα πρακτικά προβλήματα που απασχολούν τα χρηματοοικονομικά. Για την εισαγωγή αυτή χρησιμοποιήθηκαν σαν πηγές τα [2] και [1].

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚ Α ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚ Α